Rahasia Rumus-rumus “Cepat” Matematika

Rahasia Rumus-rumus “Cepat” Matematika

Jump to Comments

Oleh: Al Jupri

Dulu, ketika saya masih baru menjadi mahasiswa baru tingkat pertama, saya berkenalan dengan salah seorang mahasiswa baru lainnya yang di kemudian hari menjadi teman baik saya. Ketika awal perkenalan, kami pun ngobrol kesana-kemari. Tanya sana-tanya sini. Jawab sana, jawab sini. Hingga ia pun akhirnya bercerita bahwaa nilai tes Matematika Dasar-nya, yaitu salah satu mata pelajaran yang diujikan di UMPTN*, adalah 100 alias benar semua.

Mendengar ceritanya tersebut, saya pun terkagum-kagum dibuatnya. Dalam pikiran saya, saya berkesimpulan “Wah ia pasti orang yang sangat pandai”. Rasa kagum saya mendorong rasa ingin tahu saya tentang pengetahuannya dalam matematika. Akhirnya, dalam masa awal perkenalan itu, saya ajak ia ngobrol tentang matematika yang sudah pernah kami pelajari ketika semasa SD sampai SMA dulu.

Dari obrolan tersebut, saya jadi tahu, ternyata ia benar-benar luas pengetahuan tentang matematika yang sudah dipelajarinya. Hingga akhirnya, mungkin untuk menunjukkan kepiawaiannya, ia mengajak saya adu cepat mengerjakan soal matematika.

Mendapat tantangan itu, sebenernya saya ngeper juga. Karena saya merasa tak sepandai dirinya. Namun, karena ini namanya juga bukan lomba dan bukan apa-apa, saya sih mau saja waktu itu. Soal-soal pun dipilih secara acak dari buku kumpulan soal-soal latihan tes UMPTN* dan EBTANAS** beberapa tahun sebelumnya yang masih rajin ia bawa ke mana-mana. Kemudian, adu cepat menyelesaikan soal matematika pun dimulai.

Bagaimana hasilnya? Siapa yang tercepat?

Ternyata benar, dalam beberapa menit saja, teman saya itu berhasil menyelesaikan semua soal yang sudah dipilih tadi (karena yang dipilih cuma 3 soal sih). Dan ia keluar sebagai yang tercepat, menjadi pemenang. Sedangkan saya, satu soal pun belum mampu saya selesaikan. Waktu itu, saya terlalu berkutat dengan soal nomor pertama yang lumayan sukar untuk ukuran saya waktu itu. Walau sudah dengan segenap kemampuan saya berusaha menyelesaikannya, tapi ternyata, sampai waktu habis belum ketemu juga. Saya pun mengakui kelebihan dan kehebatannya.

Dengan sedikit malu-malu, saya bertanya padanya tentang soal yang belum bisa saya selesaikan tersebut. Sambil saya tanyakan pula kenapa ia begitu cepat bisa menyelesaikan soal-soal tersebut. Soal yang waktu itu belum bisa saya selesaikan adalah seperti berikut ini.

Soal: Bila a + 1/a = 5, maka nilai dari a³ + 1/a³ =…

Dengan cepat teman saya itu pun menyelesaikan soal tersebut seperti berikut ini:

a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ – 3a.1/a(a + 1/a) = 5³ – 3(5) = 125 – 15 = 110.

Melihat cara penyelesaiannya, saya hanya bisa melongo waktu itu. “Cuma satu baris? Padahal saya mencoba menyelesaikannya berbaris-baris, dan belum ketemu juga”, itu yang ada di pikiran saya. Kemudian, saya pun bertanya ke teman saya itu, kenapa cara pengerjaannya seperti itu?

Dengan senang hati, ia pun menjelaskan ke saya. Ia katakan bahwa, soal semacam tersebut dapat dengan mudah diselesaikan dengan rumus “cepat” berikut ini.

a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b) ………………………………..(1)

Dengan mengganti b dengan 1/a, katanya, maka soal tadi dapat diselesaikan dengan cepat seperti yang sudah dikerjakannya tadi.

Saya yang tak terbiasa menggunakan rumus “cepat” ketika di SMA dulu, penasaran ingin tahu alasan kenapa rumus “cepat” tersebut bisa dipakai. Tapi sayang, teman saya itu tak memberi tahu saya. Malahan ia menambah lagi rumus cepat yang sudah ia ketahuinya, yaitu:

a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)……………………………….(2)

Akhirnya, ngobrol-ngobrol pun beres. Ia bergegas pulang menuju kost-kost-annya. Saya pun begitu, pulang dengan rasa penasaran yang mengganjal.

Di kost-kost-an, dengan penuh rasa penasaran ingin tahu, saya pun mengutak-atik rumus “cepat” yang telah ia gunakan tersebut. Setelah beberapa waktu lamanya, akhirnya, terpecahkan juga rahasia rumus “cepat” yang dipakai teman saya tersebut. Saya berhasil menelusuri asal-muasal rumus “cepat” tersebut, berhasil menguak rahasianya. (Duh rasanya begitu senang sekali, tak bisa saya ekspresikan dengan kata-kata).

Hasil penelusuran saya tersebut, setelah saya rapikan, seperti berikut ini.

(a + b)³ = (a + b)²(a + b)

= (a² + 2ab + b²)( a + b)

= a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + b²a + b³

= a³ + b³ + 3a²b + 3ab²

= a³ + b³ + 3ab (a + b)

Jadi, (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b).

Sehingga, a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b). Rumus “cepat” (1) dapat saya buktikan kebenarannya. Kemudian, dengan cara serupa, saya pun berhasil menelusuri asal-muasal rumus “cepat” (2).

Walaupun apa yang telah saya lakukan tersebut sederhana, tapi bagi ukuran saya waktu itu adalah sesuatu yang menggembirakan hati, menyenangkan pikiran, dan memuaskan dahaga keingin-tahuan saya.

Sejak saat itu, bila ada rumus-rumus “cepat” yang saya temui di buku-buku bimbingan tes, saya pun terpacu untuk menelusuri asal-muasalnya. Dengan cara seperti itu, saya seringkali berhasil memecahkan rahasia rumus-rumus “cepat” yang selama ini beredar luas di kalangan siswa yang mengikuti bimbingan test.

Baiklah, segitu dulu saja ceritanya ya…, lain kali insya Allah saya akan membahas baik-buruknya penggunaan rumus “cepat” (Ada satu cerita yang sangat menggelikan tentang hal ini. Mau tahu? Silakan tunggu di postingan mendatang…). Sampai di sini dulu ya…, mudah-mudahan bermanfaat.

Sebagai bahan latihan untuk Anda, cobalah telusuri asal-muasal rumus-rumus “cepat” berikut ini.

1. Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab.
2. Perhatikan gambar berikut. Panjang PQ dapat ditentukan dengan mudah, yaitu:

   PQ = (AP. DC + DP. AB)/(AD)

Catatan:

*UMPTN: Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (Saat ini namanya SPMB)

**EBTANAS: Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional (Saat ini namanya UAN)

#^#

GM Rancang Mobil yang Mampu Berjalan Sendiri

VIVAnews - General Motor mengumumkan konsep kendaraan masa depan beroda dua yang dapat berjalan secara otomatis, tanpa perlu dikendarai pengemudinya secara manual.Mobil yang diberi nama EN-V (kependekan dari Electric Networked-Vehicle) itu, dirancang untuk mengantisipasi kondisi masa depan, sebagai solusi bagi masalah lingkungan, kepadatan jalan raya, serta kecelakaan lalu lintas.Ini didasarkan pada proyeksi GM di 2030, di mana sekitar 60 persen dari 8 miliar penduduk saat itu tinggal di wilayah urban, sehingga sangat membebani infrastruktur transportasi publik."EN-V adalah perpaduan dari elektrifikasi dan konektivitas, yang menyediakan solusi bagi mobilitas urban, karena menawarkan pengalaman berkendara bebas bensin dan emisi, bebas kepadatan dan kecelakan lalu lintas, sekaligus menyediakan kesenangan dan gaya," ujar Kevin Wale, President GM China, seperti dikutip dari Computerworld.Mobil konsep yang dikerjakan oleh GM bekerja sama dengan Shanghai Industry Corporation Group (SAIC) itu dibangun berdasarkan platform purwa rupa yang dikembangkan oleh Segway, sebuah perusahaan yang mengembangkan kendaraan listrik roda dua yang cukup populer di Amerika SerikatEN-V adalah kendaraan yang mampu dikemudikan secara manual maupun dioperasikan secara otomatis (drive-by-wire). Kendaraan mungil yang ukurannya sekitar sepertiga kendaraan tradisional itu dilengkapi dengan Global Positioning System (GPS), teknologi komunikasi antar-kendaraan, serta teknologi sensor jarak.Kendaraan ini juga bisa mengurangi kepadatan lalu lintas, dengan kemampuannya secara otomatis untuk memilih rute tercepat tujuan berdasarkan informasi kepadatan jalan raya yang real-time.Dengan sensor dan sistem kamera yang dimilikinya, EN-V diklaim dapat memetakan keadaan sekitar dan mampu bereaksi secara cepat untuk mengatasi berbagai rintangan atau perubahan kondisi yang sedang terjadi.Misalnya saja, bila ada seorang pejalan kaki yang tiba-tiba menyeberang di depan kendaraan, EN-V langsung mengurangi kecepatan ke kondisi yang lebih aman, bahkan mampu berhenti lebih awal dibandingkan dengan kendaraan yang ada saat ini. Ini membuatnya penumpang kendaraan bisa lebih aman dari kecelakaan.Mobil konsep ini juga dilengkapi dengan sistem komunikasi nirkabel sehingga penumpang kendaraan bisa berkomunikasi dengan teman-teman mereka melalui jejaring sosial, selama di perjalanan.EN-V, mobil konsep besutan GMKendaraan seberat sekitar 500 kg ini ditenagai oleh motor listrik yang mampu mengangkut dua orang penumpang dan bagasi ringan. Seperti halnya ponsel, tenaganya dipasok oleh baterai lithium-ion, sehingga sama sekali tak mengeluarkan emisi.Untuk mengisi kembali baterai, pemilik mobil cukup menghubungkan EN-V ke colokan listrik standar seperti yang ada di setiap rumah. Setiap saat baterai diisi penuh, mobil ini mampu menempuh jarak hingga 40 kilometer.Tiga model dari mobil EN-V; yakni EN-V Pride, EN-V Magic, dan EN-V Laugh, akan dipamerkan di Shanghai World Expo 2010, antara 1 Mei-31 Oktober 2010.